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Mathematik-Online-Lexikon:

Determinantenberechnung und Invertierbarkeit


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Berechne jeweils die Determinante von $ A$ .

1.
Sei \begin{displaymath}A =
\left(
\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 1& 1& 0 \\
0 & 1 ...
...0 & 1 & 1& 0& 1 \\
\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{5\times 5}\end{displaymath} .
2.
Sei $ t\in\mathbb{R}$ , sei \begin{displaymath}A =
\left(
\begin{array}{rrrrrr}
1 & 0 & 0& 1& 0& t \\
0 ...
... 1 & t& t& 1& 0 \\
\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{6\times 6}\end{displaymath} . Für welche $ t\in\mathbb{R}$ ist $ A$ invertierbar? Für welche $ t\in\mathbb{R}$ ist $ \operatorname{Kern }A = \{ 0\}$ ?
3.
Sei $ n\geq 1$ , und sei \begin{displaymath}A =
\left(
\begin{array}{cccccccc}
1 & 1 & 0&\cdots & 0 & 0...
...dots & 0& 1 & 1 \\
\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{n\times n}\end{displaymath} . Für welche $ n$ ist $ A$ singulär?

Lösung.

1.
Wir erhalten

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\det A \;=\;
\det\left(
\begin{array}{rrrr...
... 1 \\
-2&-1 \\
\end{array}\right)
\;=\; 3\; . \\
\end{array}\end{displaymath}

2.
Wir erhalten

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\det A
\;=\; \det\left(
\begin{array}{cccc...
...
\;=\; -t(t-1)(t^2-1)
\;=\; -t(t-1)^2(t+1)\; . \\
\end{array}\end{displaymath}

Die Matrix $ A$ ist invertierbar genau dann, wenn $ \det A\ne 0$ ist, d.h. wenn $ t\in\mathbb{R}\setminus\{ 0,1,-1\}$ . Invertierbarkeit ist auch gleichbedeutend mit $ \operatorname{Kern }A = \{ 0\}$ .
3.
Wir schreiben zur Unterscheidung $ A_n = A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ und berechnen zunächst $ \det A_1 = 1$ , $ \det A_2 = 0$ und $ \det A_3 = -1$ . Sodann wird

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\det A_n
&=& \det\underbrace{\left(
\be...
...imes (n-2)} \vspace*{2mm}\\
&=& -\det A_{n-3}\; .
\end{array}\end{displaymath}

Wir erhalten somit folgendes Ergebnis. Sei $ m\in \{0,\ldots,5\}$ der Rest von $ n$ geteilt durch $ 6$ , d.h. $ n = 6s + m$ für ein $ s\in\mathbb{Z}$ .

Falls $ m\in\{ 0,1\}$ , so ist $ \det A_n = 1$ .

Falls $ m\in\{ 2,5\}$ , so ist $ \det A_n = 0$ .

Falls $ m\in\{ 3,4\}$ , so ist $ \det A_n = -1$ .

Damit ist $ A_n$ singulär genau dann, wenn $ m\in\{ 2,5\}$ liegt (man schreibt auch: wenn $ n\equiv_6 2$ oder $ n\equiv_6 5$ ).

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 22.  8. 2006