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Mathematik-Online-Lexikon:

Schiefsymmetrische Matrizen

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1.
Sei $ A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ mit $ n$ ungerade, und sei $ A^\mathrm{t} = - A$ (man sagt, $ A$ sei schiefsymmetrisch). Zeige, daß $ A$ singulär ist.
2.
Seien $ a,\, b,\, c\,\in\,\mathbb{R}\setminus\{ 0\}$ . Finde einen nichtverschwindenden Vektor im Kern von $ \left(\begin{array}{rrr}0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0\end{array}\right)$ .

Lösung.

1.
Es wird

$\displaystyle \det A \;=\; \det(-A^\mathrm{t}) \;=\; (-1)^n \det(A^\mathrm{t}) \;=\; -\det A\; , $

und somit $ \det A = 0$ . Damit ist $ A$ singulär.

2.
Etwa ist $ \left(\begin{array}{rrr}0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}c\\ -b\\ a\end{array}\right) = 0$ , i.e. $ \left(\begin{array}{r}c\\ -b\\ a\end{array}\right)\in\operatorname{Kern}\left(\begin{array}{rrr}0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0\end{array}\right)\setminus\{ 0\}$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 22.  8. 2006