Mathematik-Online-Lexikon: Mögliche Jordanformen

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Mögliche Jordanformen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Übersicht

In den folgenden Aufgaben sind Jordanformen als gleich anzusehen, falls sie bis auf Reihenfolge der Jordanblöcke übereinstimmen.

1.: Welche Jordanformen in $\mathbb{C}^{3\times 3}$ mit Eigenwerten in $\{ 0,1\}$ gibt es? Gib jeweils das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom an.
2.: Welche Jordanformen mit charakteristischem Polynom $(X^2+1)^2(X - \mathrm{i})^2$ gibt es?
3.: Welche Jordanformen mit Minimalpolynom gibt es in $\mathbb{C}^{8\times 8}$ ?

Lösung.

1.

Es gibt die folgenden Jordanformen.

$\begin{displaymath} \begin{array}{\vert l\vert l\vert l\vert l\vert}\hline \math... ...&0\\ 0&0&1\end{pmatrix} & (X-1)^3 & (X-1) \\ \hline \end{array}\end{displaymath}$

2.

Es ist $(X^2+1)^2(X - \mathrm{i})^2 = (X + \mathrm{i})^2(X - \mathrm{i})^4$ . Damit gibt es die folgenden Jordanformen.

$\begin{displaymath} \begin{array}{\vert l\vert}\hline \mathrm{Bl''ocke} \\ \hlin... ...J}_1(\mathrm{i}),\mathrm{J}_1(\mathrm{i}) \\ \hline \end{array}\end{displaymath}$

3.

Es ist

. Damit gibt es die folgenden Jordanformen.

$\begin{displaymath} \begin{array}{\vert l\vert}\hline \mathrm{J}_3(2),\mathrm{J}... ...m{J}_1(2),\mathrm{J}_1(2),\mathrm{J}_1(2) \\ \hline \end{array}\end{displaymath}$

Wir bemerken noch, daß diese Matrizen bei verschiedener Jordanform alle dasselbe charakteristische Polynom und dasselbe Minimalpolynom haben.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

[Verweise]

automatisch erstellt am 11. 8. 2006