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Mathematik-Online-Lexikon:

Kriterien für unitäre Diagonaliisierbarkeit und Unitarität

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Sei $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ .

1.
Zeige, daß aus $ A = -\bar{A}^\mathrm{t}$ die unitäre Diagonalisierbarkeit von $ A$ folgt.

2.
Gib eine Matrix $ A$ an, die diagonalisierbar, aber nicht unitär diagonalisierbar ist.

3.
Sei $ A$ hermitesch. Zeige: Ist ein Diagonaleintrag von $ A$ größer 0 , und ein Diagonaleintrag von $ A$ kleiner 0 , so hat $ A$ einen positiven und einen negativen Eigenwert.

4.
Zeige, daß für $ x,y\in\mathbb{C}^n$ gilt:

$\displaystyle \bar{x}^\mathrm{t} Ay \;=\; \frac{1}{4}\bigg(\mathrm{q}_A(x+y)-\m... ...i}\mathrm{q}_A(x+\mathrm{i} y)+\mathrm{i}\mathrm{q}_A(x-\mathrm{i} y)\bigg)\;. $

5.
Sei $ B\in\mathbb{C}^{n\times n}$ mit $ \mathrm{q}_A(x)=\mathrm{q}_B(x)$ für alle $ x\in\mathbb{C}^n$ . Zeige, daß $ A=B$ .

6.
Zeige: $ A$ ist unitär genau dann, wenn $ \Vert Ax\Vert=\Vert x\Vert$ für alle $ x\in\mathbb{C}^n$ .

Lösung.

1.
Es ist $ A\bar{A}^\mathrm{t} = A(-A) = (-A)A = \bar{A}^\mathrm{t} A$ , d.h. $ A$ ist normal und mithin unitär diagonalisierbar.

2.
Zum Beispiel gibt $ A:=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&1\end{pmatrix}$

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} A\bar{A}^\mathrm{t} &=& \begin{pmatrix}1&... ...m{t} A &=& \begin{pmatrix}0&0\\ 0&2\end{pmatrix}\;, \end{array}\end{displaymath}

d.h. $ A$ ist nicht normal und mithin nicht unitär diagonalisierbar.

Man kann hierfür auch die Tatsache verwenden, daß eine normale obere Dreiecksmatrix notwendig eine Diagonalmatrix ist.

Wegen

$\displaystyle \chi_A(X) \;=\; X(X-1) $

hat $ A$ zwei verschiedene Eigenwerte, und ist somit diagonalisierbar.

3.
Sei etwa der Eintrag an der Position $ (k,k)$ positiv, und der Eintrag an der Position $ (l,l)$ negativ. Dann ist $ \mathrm{q}_A(e_k)>0$ und $ \mathrm{q}_A(e_l)<0$ . Folglich ist $ A$ indefinit. Somit hat $ A$ einen positiven und einen negativen Eigenwert.

4.
Es wird

$\displaystyle \mathrm{q}_A(x+y)-\mathrm{q}_A(x-y) \;=\; 2(\bar{x}^\mathrm{t} Ay+\bar{y}^\mathrm{t} Ax) $

und somit

$\displaystyle \mathrm{q}_A(x+\mathrm{i} y)-\mathrm{q}_A(x-\mathrm{i} y) \;=\; 2... ...thrm{t}} Ax) \;=\; 2\mathrm{i}(\bar{x}^\mathrm{t} Ay-\bar{y}^\mathrm{t} Ax)\;. $

Insgesamt wird

\begin{displaymath} \begin{array}{cl} & \frac{1}{4}\bigg(\mathrm{q}_A(x+y)-\math... ...x)\bigg)\vspace*{3mm}\\ =&\bar{x}^\mathrm{t} Ay\;. \end{array}\end{displaymath}

5.
Sei $ C=(c_{i,j})_{i,j}:=A-B$ . Dann gilt $ q_C(x)=q_A(x)-q_B(x)=0$ für alle $ x\in\mathbb{C}^n$ . Mit der in 4. gezeigten Formel folgt $ \bar{x}^\mathrm{t} Cy=0$ für alle $ x,y\in\mathbb{C}^n$ . Insbesondere ist $ c_{i,j}=\bar{e_i}^\mathrm{t} C e_j =0$ für alle $ i,j\in\{1,\dots,n\}$ , und damit $ C=0$ und $ A=B$ .

6.
Mit 5. haben wir folgende Äquivalenzen.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006