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Mathematik-Online-Lexikon:

Positive Semidefinitheit


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Zeige, daß $ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0$ für alle $ a,b,c\in\mathbb{R}$ .

Lösung.

Mit

$\displaystyle A \;:=\; \left(\begin{array}{rrr}
1 & -1/2& -1/2\\
-1/2 & 1 & -1/2\\
-1/2 & -1/2& 1\\
\end{array}\right)
$

ergibt sich

$\displaystyle \mathrm{q}_A(\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}) \;=\; a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \;.
$

Es gilt also $ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\geq 0$ für alle $ a,b,c\in\mathbb{R}$ genau dann, wenn $ A$ positiv semidefinit ist.

Beidseitiger Gaußscher Algorithmus liefert

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}
1 & -1/2& -1/2\\
-1/2 & 1 & -1/2\\
-1/...
...gin{array}{rrr}
1 & 0 & 0\\
0 & 3/4 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{array}\right)\;.
$

Damit ist $ A$ in der Tat positiv semidefinit; genauer gesagt ist ihre Signatur $ (2,0)$ .

Alternativ bietet sich eine quadratische Ergänzung an. Es ist

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
& a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\vspace{3mm}\\
=& ...
...a-\frac{b}{2}-\frac{c}{2})^2 + \frac{3}{4} (b-c)^2.
\end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 11.  8. 2006