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Mathematik-Online-Lexikon:

Rechenregeln für konvergente Folgen

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Es sei $ (x_k)_{k\ge 1}$ eine Folge aus $ \mathbb{R}^n$ mit $ x_k = \begin{pmatrix} \xi_{1,k}\\ \vdots\\ \xi_{n,k} \end{pmatrix}$ , und sei $ x=\begin{pmatrix}\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$ .

1.
Zeige, daß $ \lim\limits_{k \to \infty} x_k = x$ genau dann, wenn $ \lim\limits_{k \to \infty} \xi_{\nu,k} = \xi_\nu$ für alle $ \nu = 1, \ldots, n$ .

Kurz: Konvergenz in $ \mathbb{R}^n$ entspricht komponentenweiser Konvergenz.

2.
Es seien $ (x_k)_{k\ge 1}, (y_k)_{k\ge 1}$ konvergente Folgen in $ \mathbb{R}^n$ und $ (\alpha_k)_{k\ge 1}$ eine konvergente Folge in $ \mathbb{R}$ .

Zeige, daß

$\displaystyle \begin{array}{lcl} \lim\limits_{k \to \infty} (x_k + y_k) &=& \l... ...ght)^{\! \mathrm{t}} \left( \lim\limits_{k \to \infty} y_k \right). \end{array}$

Lösung.

1.
Für einen beliebigen Vektor $ y = \begin{pmatrix}\eta_1 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n$ gilt

$\displaystyle \max\limits_{\nu\in\{1,\dots,n\}} \vert \eta_\nu \vert \leq \Vert... ...)^{\! 1/2} = \sqrt{n} \max\limits_{\nu\in\{1,\dots,n\}} \vert \eta_\nu \vert. $

Damit ist

$\displaystyle \Vert x_k - x \Vert \to 0 \iff \max\limits_{\nu\in\{1,\dots,n\}} \vert \xi_{\nu,k} - \xi_\nu \vert \to 0. $

Also gilt $ x_k \to x$ genau dann, wenn $ \xi_{\nu,k}\to \xi_\nu$ für alle $ \nu \in \{ 1, \ldots, n \}$

2.
Es sei $ x_k = \begin{pmatrix} \xi_{1,k}\\ \vdots\\ \xi_{n,k} \end{pmatrix}, y_k = \begin{pmatrix} \eta_{1,k}\\ \vdots\\ \eta_{n,k} \end{pmatrix}$ und $ \xi_\nu := \lim\limits_{k \to \infty} \xi_{\nu,k}, \eta_\nu := \lim\limits_{k \to \infty} \eta_{\nu,k}, \nu = 1, \ldots, n$ , die nach 1. existieren. Also gilt nach 1.

$\displaystyle \lim\limits_{k\to\infty}x_k \;=\; \begin{pmatrix}\xi_1\\ \vdots\\... ..._{k\to\infty}y_k \;=\; \begin{pmatrix}\eta_1\\ \vdots\\ \eta_n\end{pmatrix}\;. $

Damit ist

\begin{displaymath} \begin{array}{lcl} \lim\limits_{k \to \infty} (x_k + y_k) &... ... \left( \lim\limits_{k \to \infty} y_k \right)\; . \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006