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Mathematik-Online-Lexikon:

Ableitungen

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Berechne die partiellen Ableitungen und die (totale) Ableitung der Funktion

$\displaystyle f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\; , \;\;\; f(x_1, x_2) \; :=\; {e^{x_1 x_2} \choose x_2^2 \cos x_1}. $

Lösung.

Um die partielle Ableitung nach $ x_1$ zu berechnen, sehen wir die übrigen Variablen, d.h. $ x_2$ , als konstant an und erhalten mit den Regeln der eindimensionalen Analysis

$\displaystyle f_{x_1}(x_1,x_2) = {x_2 e^{x_1 x_2} \choose - x_2^2 \sin x_1}. $

Um die partielle Ableitung nach $ x_2$ zu berechnen, sehen wir die übrigen Variablen, d.h. $ x_1$ , als konstant an und erhalten mit den Regeln der eindimensionalen Analysis

$\displaystyle f_{x_2}(x_1,x_2) = {x_1 e^{x_1 x_2} \choose 2 x_2 \cos x_1}. $

Da die beiden partiellen Ableitungen von $ f$ stetig als Komposition stetiger Funktionen sind, ist $ f$ insbesondere (total) differenzierbar und es gilt

$\displaystyle f'(x_1,x_2) = \begin{pmatrix} x_2 e^{x_1 x_2} & x_1 e^{x_1 x_2}\\ - x_2^2 \sin x_1 & 2 x_2 \cos x_1 \end{pmatrix}. $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006