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Mathematik-Online-Lexikon:

Gradient und Richtungsableitungen

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Es seien $ M\subseteq\mathbb{R}^n$ und $ f:M\to\mathbb{R}$ differenzierbar im inneren Punkt $ x_0\in M$ mit dort nichtverschwindendem Gradienten. Es sei $ v_0:=\dfrac{\nabla f(x_0)}{\Vert\nabla f(x_0)\Vert}$ . Zeige mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, daß für alle Richtungen $ v\in\mathbb{R}^n$

$\displaystyle \left\vert\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)\right\vert \;\leq\; \frac{\partial f}{\partial v_0}(x_0) $

ist. In dieser Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn $ v = \pm v_0$ .

Kurz, der Gradient $ \nabla f(x_0)$ zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs $ \dfrac{\partial f}{\partial v_0}(x_0)$ der Funktion $ f$ im Punkt $ x_0$ .

Lösung.

Da $ f$ differenzierbar ist im Punkt $ x_0$ , ist für alle Richtungen $ v\in\mathbb{R}^n$

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(x_0) \;=\; (\nabla f(x_0))^\mathrm{t} v\;. $

Speziell wird

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v_0}(x_0) \;=\; (\nabla f(x_0))^\mathrm{t} v_0 \;=\; \Vert\nabla f(x_0)\Vert\;. $

Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt

$\displaystyle \left\vert\frac{\partial f}{\partial v}(x_0)\right\vert \;=\; \l... ...rt \;=\; \Vert\nabla f(x_0)\Vert \;=\; \frac{\partial f}{\partial v_0}(x_0)\;. $

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn $ \nabla f(x_0)$ und $ v$ linear abhängig sind. Wegen $ \Vert v\Vert=1$ ist dies gleichbedeutend mit $ v = \pm v_0$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006