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Gradient und Richtungsableitungen |
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Es seien
und
differenzierbar im inneren Punkt
mit dort nichtverschwindendem Gradienten.
Es sei
. Zeige mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, daß für
alle Richtungen
ist. In dieser Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn
Kurz, der Gradient
zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs
der Funktion
im Punkt
.
Lösung.
Da
differenzierbar ist im Punkt
, ist für alle Richtungen
Speziell wird
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt
In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn
siehe auch:
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |