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Gradient und Richtungsableitungen |
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Es seien und differenzierbar im inneren Punkt mit dort nichtverschwindendem Gradienten. Es sei . Zeige mit Hilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, daß für alle Richtungen
ist. In dieser Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn .
Kurz, der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt .
Lösung.
Da differenzierbar ist im Punkt , ist für alle Richtungen
Speziell wird
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt
In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung tritt die Gleichheit genau dann ein, wenn und linear abhängig sind. Wegen ist dies gleichbedeutend mit .
siehe auch:
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |