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Mathematik-Online-Lexikon:

Ableitungen

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Sei $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2$ , $ x\mapsto{x^2 \choose x^3}$ , und sei $ g :\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}$ , $ {u \choose v}\mapsto u + v + uv$ .

Berechne $ (g\circ f)'$ zum einen direkt und zum anderen mit der Kettenregel.

Lösung.

Zum einen ist $ (g\circ f)(x) = x^2 + x^3 + x^5$ , also $ (g\circ f)'(x) = 2x + 3x^2 + 5x^4$ .

Zum anderen sind $ g'(u,v) = (1+v\;,\;1+u)$ und $ f'(x) = \begin{pmatrix}2x \\ 3x^2 \end{pmatrix}$ . Somit wird

$\displaystyle (g\circ f)'(x) \; =\; g'(f(x)) f'(x) \; = \; (1+x^3\;,\;1+ x^2)\b... ...\ 3x^2 \end{pmatrix} \; =\; (1+x^3)2x+(1+x^2)3x^2 \; =\; 2x + 3x^2 + 5x^4\; . $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006