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Mathematik-Online-Lexikon:

Mittelwertsatz und Satz von Taylor

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1.
Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, daß

$\displaystyle \vert(\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gamma)(\sin\delta)\vert \;\le\; \vert\alpha-\gamma\vert+\vert\beta-\delta\vert\; . $

für $ \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ .
2.
Zeige unter Verwendung des Satzes von Taylor, daß

$\displaystyle \Big\vert\Big((\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gamma)(\sin\delta)\Bi... ...;\;\le\;\; \frac{1}{2}(\vert\alpha - \gamma\vert + \vert\beta - \delta\vert)^2 $

für $ \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}$ .

Lösung.

Es sei $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definiert durch $ f(x_1,x_2):=(\sin x_1)(\sin x_2)$ . Dann ist $ f$ beliebig oft differenzierbar.

1.
Es ist

$\displaystyle f'(x_1,x_2)\; =\; \left((\cos x_1)(\sin x_2)\;,\; (\sin x_1)(\cos x_2)\right)\; . $

Wir setzten $ y:=(\alpha,\beta)^\mathrm{t}$ und $ x:=(\gamma,\delta)^\mathrm{t}$ . Dann gibt es nach dem Mittelwertsatz so ein $ \xi=(\xi_1,\xi_2)^\mathrm{t}\in\overline{x,y}$ , daß

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} (\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gamma)(\sin... ...n\xi_2)(y_1-x_1)+(\sin\xi_1)(\cos\xi_2)(y_2-x_2)\;. \end{array}\end{displaymath}

Also folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \vert(\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gamma)... ...& \vert\alpha-\gamma\vert+\vert\beta-\delta\vert\;. \end{array}\end{displaymath}

2.
Es ist

$\displaystyle \mathrm{H}_f(x) \; =\; \begin{pmatrix}-(\sin x_1)(\sin x_2) & (\c... ...)(\cos x_2)\\ (\cos x_1)(\cos x_2) & -(\sin x_1)(\sin x_2) \end{pmatrix} \; . $

Wir setzten $ y:=(\alpha,\beta)^\mathrm{t}$ und $ x:=(\gamma,\delta)^\mathrm{t}$ . Nach dem Satz von Taylor gibt es so ein $ \xi=(\xi_1,\xi_2)^\mathrm{t}\in\overline{x,y}$ , daß

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \Big((\sin\alpha)(\sin\beta)-(\sin\gamma)(... ...xi_2)(\alpha - \gamma)(\beta - \delta)\Big)\; , \\ \end{array}\end{displaymath}

woraus

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \Big\vert\Big((\sin\alpha)(\sin\beta)-(\si... ...pha - \gamma\vert + \vert\beta - \delta\vert)^2 \\ \end{array}\end{displaymath}

folgt.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006