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Mathematik-Online-Lexikon: | |
Extrema der quadratischen Form einer Matrix auf dem Einheitskreis |
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Sei
eine symmetrische Matrix, deren Eigenvektoren und Eigenwerte wir als bekannt annehmen, und deren Eigenwerte alle die
algebraische Vielfachheit
haben.
Sei
,
die zugehörige quadratische Form.
Bestimme die regulären kritischen Punkte von
unter der Nebenbedingung
, und entscheide, ob ein lokales Extremum unter
dieser Nebenbedingung vorliegt.
Bestimme so
und
.
Lösung.
Setze
,
. Es sind
und
beliebig oft stetig differenzierbar.
Gemäß der Multiplikatorenregel von Lagrange betrachten wir die Funktion
Die Bedingung
liefert mittels der Symmetrie der Matrix
Da
, ist für
der Rang von
ungleich 0
, und also gleich
.
Die regulären kritischen Punkte von
unter der Nebenbedingung
sind also gerade die normierten Eigenvektoren von
.
Untersuchen wir nun die hinreichende Bedingung. Zunächst ergibt sich für ein beliebiges
und ein beliebiges
mit
Es seien
Sei
durch das Spaltentupel
gegeben. Die relative Hessematrix in
berechnet sich zu
Es liegt also für den maximalen Eigenwert eine negativ definite relative Hessematrix vor, und daher bei den beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren ein lokales Maximum.
Ferner liegt für den minimalen Eigenwert eine positiv definite relative Hessematrix vor, und daher bei den beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren ein lokales Minimum.
Da
kompakt ist (da abgeschlossen und beschränkt), existieren ein globales Maximum und ein globales Minimum von
. Da
auf
ganz
den Rang
hat, sind beide unter den regulären kritischen Punkten zu suchen. Es folgt, daß
gleich dem
maximalen, und
gleich dem minimalen Eigenwert von
sind.
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |