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Mathematik-Online-Lexikon:

Extrema der quadratischen Form einer Matrix auf dem Einheitskreis

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Sei $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ eine symmetrische Matrix, deren Eigenvektoren und Eigenwerte wir als bekannt annehmen, und deren Eigenwerte alle die algebraische Vielfachheit $ 1$ haben.

Sei $ q:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}$ , $ q(x) := x^\mathrm{t} Ax$ die zugehörige quadratische Form.

Bestimme die regulären kritischen Punkte von $ q$ unter der Nebenbedingung $ \Vert x\Vert = 1$ , und entscheide, ob ein lokales Extremum unter dieser Nebenbedingung vorliegt.

Bestimme so $ \max\limits_{\Vert x\Vert = 1} q(x)$ und $ \min\limits_{\Vert x\Vert = 1} q(x)$ .

Lösung.

Setze $ g: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ , $ x\mapsto g(x):=\Vert x\Vert^2-1=x^\mathrm{t} x - 1$ . Es sind $ q$ und $ g$ beliebig oft stetig differenzierbar.

Gemäß der Multiplikatorenregel von Lagrange betrachten wir die Funktion

$\displaystyle F(x)\; :=\; q(x) - \lambda g(x) \;=\; x^\mathrm{t} A x - \lambda (x^\mathrm{t} x - 1) \; . $

Die Bedingung

$\displaystyle F'(x) \;=\; 2x^\mathrm{t} A - 2\lambda x^\mathrm{t} \;=\; 0 $

liefert mittels der Symmetrie der Matrix $ A$ die Gleichung $ Ax = \lambda x$ .

Da $ g'(x) = 2 x^\mathrm{t}$ , ist für $ \Vert x\Vert = 1$ der Rang von $ g'(x)$ ungleich 0 , und also gleich $ 1$ .

Die regulären kritischen Punkte von $ q$ unter der Nebenbedingung $ g = 0$ sind also gerade die normierten Eigenvektoren von $ g$ .

Untersuchen wir nun die hinreichende Bedingung. Zunächst ergibt sich für ein beliebiges $ \lambda$ und ein beliebiges $ x\in\mathbb{R}^n$ mit $ F := q - \lambda g$

$\displaystyle \mathrm{H}_F(x) \;=\; 2(A - \lambda \mathrm{E})\; . $

Es seien $ \lambda_1, \ldots, \lambda_n$ die der Größe nach aufsteigenden Eigenwerte der Matrix $ A$ mit zugehörigen normierten Eigenvektoren $ x_1, \ldots, x_n$ resp. Dann bilden $ (x_1, \ldots, x_n)$ eine Orthonormalbasis des $ \mathbb{R}^n$ .

Sei $ \mathrm{T}_g(x_i)$ durch das Spaltentupel $ (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n)$ gegeben. Die relative Hessematrix in $ x_i$ berechnet sich zu

$\displaystyle \mathrm{H}_{q;g}(x_i) \;=\; \mathrm{T}_g(x_i)^\mathrm{t}\, \mathr... ...bda_{i-1}-\lambda_i,\lambda_{i+1}-\lambda_{i}, \ldots, \lambda_n - \lambda_i). $

Es liegt also für den maximalen Eigenwert eine negativ definite relative Hessematrix vor, und daher bei den beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren ein lokales Maximum.

Ferner liegt für den minimalen Eigenwert eine positiv definite relative Hessematrix vor, und daher bei den beiden zugehörigen normierten Eigenvektoren ein lokales Minimum.

Da $ V(g)$ kompakt ist (da abgeschlossen und beschränkt), existieren ein globales Maximum und ein globales Minimum von $ q\vert _{V(g)}$ . Da $ g'$ auf ganz $ V(g)$ den Rang $ 1$ hat, sind beide unter den regulären kritischen Punkten zu suchen. Es folgt, daß $ \max\limits_{\Vert x\Vert = 1} q(x)$ gleich dem maximalen, und $ \min\limits_{\Vert x\Vert = 1} q(x)$ gleich dem minimalen Eigenwert von $ A$ sind.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006