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Mathematik-Online-Lexikon:

Implizite Funktionen

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1.
Zeige, daß das Gleichungssystem

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x &=& \cos y\vspace*{2mm}\\ \sin y &=& e^z \end{array}\end{displaymath}

lokal um den Punkt $ (x,y,z)^\mathrm{t}=(0,\frac{\pi}{2},0)^\mathrm{t}$ nach $ (y,z)$ auflösbar ist.
2.
Sei $ g(x)=(y(x),z(x))^\mathrm{t}$ die in 1. implizit definierte Funktion. Zeige, daß die Funktionen $ y$ und $ z$ die Differentialgleichungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} y' &=& -1/\sin y\vspace*{2mm}\\ z' &=& -(\cot y)e^{-z} \\ \end{array}\end{displaymath}

erfüllen und berechne $ y'(0)$ und $ z'(0)$ .

Lösung.

1.
Es sei

$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\; f(x,y,z) \;:=\; \begin{pmatrix}x-\cos y\\ \sin y-e^z\end{pmatrix}\;. $

Es wird

$\displaystyle f'(x,y,z) \;=\; \left(\begin{array}{rrr} 1 & \sin y & 0\\ 0 & \cos y & -e^z\end{array}\right)\;. $

Speziell ergibt sich

$\displaystyle f'(0,\frac{\pi}{2},0) \;=\; \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)\;. $

Also ist

$\displaystyle \det f_{(y,z)^\mathrm{t}}(1,1,1) \;=\; \det\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right) \;=\; -1 \;\ne\; 0\;. $

Nach dem Satz über implizite Funktionen läßt sich das Gleichungssystem $ f(x,y,z)=0$ lokal um den Punkt $ (0,\frac{\pi}{2},0)^\mathrm{t}$ nach $ (y,z)^\mathrm{t}$ auflösen.
2.
Nach 1. gibt es also Umgebungen $ U\subseteq\mathbb{R}$ von 0 und $ V\subseteq\mathbb{R}^2$ von $ (\frac{\pi}{2},0)^\mathrm{t}$ sowie genau eine stetig differenzierbare Funktion $ g:U\to V$ , $ g(x)=(y(x),z(x))^\mathrm{t}$ so, daß

Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} g'(x) & = & \begin{pmatrix}y' \\ z'\end{... ...in y)^{-1}\\ - e^{-z}(\cot y)\end{pmatrix} \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

Speziell wird

$\displaystyle \begin{pmatrix}y'(0)\\ z'(0)\end{pmatrix}\;=\; \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\end{array}\right)\;. $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006