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Mathematik-Online-Lexikon:

Implizite Funktionen

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Es sei $ m\ge 1$ , $ V\subseteq\mathbb{R}^m$ , $ h:V\to\mathbb{R}^m$ , $ y_0\in V$ ein innerer Punkt, $ \det h'(y_0) \ne 0$ und $ x_0 := h(y_0)$ .

1.
Zeige, daß es eine Umgebung $ y_0 \in V_0\subseteq\mathbb{R}^m$ und eine Umgebung $ x_0 \in U_0\subseteq \mathbb{R}^m$ gibt derart, daß folgendes gilt.

2.
Berechne $ g'(x)$ auf $ U_0$ unter Zuhilfenahme der Aussagen über implizite Funktionen.

Lösung.

1.
Es sei $ f : \mathbb{R}^m \times V \longrightarrow \mathbb{R}^m$ , $ f(x,y) := x - h(y)$ . Es ist $ f(x_0,y_0) = 0$ , und es ist $ f_y(x_0,y_0) = (-1)^m \det h'(y_0) \ne 0$ . Somit gibt es mit dem Satz über implizite Funktionen eine Umgebung $ V_0$ von $ y_0$ und eine Umgebung $ U_0$ von $ x_0$ derart, daß es zu jedem $ x\in U_0$ genau ein $ y\in U_0$ gibt mit $ f(x,y) = x - h(y) = 0$ , so daß wir $ g(x) := y$ setzen können. Ferner gilt dann für diese Funktion $ g:U_0\longrightarrow V_0$ , daß $ f(x,g(x)) = x - h(g(x)) = 0$ ist, d.h. daß $ h\circ g = \mathrm{id}_{U_0}$ gilt. Weiter wissen wir, daß $ f_y(x,y) = (-1)^m \det h'(y) \ne 0$ ist für alle $ (x,y)^\mathrm{t}\in U_0\times V_0$ , sowie, daß $ g$ stetig differenzierbar ist in allen inneren Punkten von $ U_0$ .

Wegen $ h\circ g = \mathrm{id}_{U_0}$ ist $ h(U_0) = V_0$ . Da es zu jedem $ x\in U_0$ genau ein $ y\in V_0$ gibt mit $ x = h(y)$ ist $ h\vert _{U_0}$ auch injektiv, und damit insgesamt bijektiv.

2.
Aufgrund des Satzes über implizite Funktionen ist

$\displaystyle g'(x) \;=\; - f_y(x,g(x))^{-1} f_x(x,g(x)) \;=\; -h'(g(x))^{-1} \; . $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006