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Mathematik-Online-Lexikon:

Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder

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Sei $ f:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^2$ definiert durch $ f(x,y):=\left(\dfrac{-y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)^\mathrm{t}$ . Sei ferner $ \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$ definiert durch $ \gamma(t):=(\cos t,\sin t)^\mathrm{t}$ .

  1. Berechne das Kurvenintegral von $ f$ längs $ \gamma$ .
  2. Erfüllt $ f$ die Integrabilitätsbedingungen auf $ \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ ?
  3. Ist das Vektorfeld $ f$ konservativ?

Lösung.

  1. Es wird

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\gamma f &=& \displayst... ..._0^{2\pi}1\;\mathrm{d}t\vspace*{2mm}\\ &=& 2\pi\;. \end{array}\end{displaymath}

  2. Es wird

    $\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \;=\; \dfrac{-(x^2+y^2)+y\cdot 2... ...ac{(x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} \;=\; \dfrac{\partial f_2}{\partial x}\;. $

    Also erfüllt $ f$ die Integrabilitätsbedingungen.

  3. Wäre das Vektorfeld $ f$ konservativ mit Stammfunktion $ F$ , so würde nach dem ersten Hauptsatz für Kurvenintegrale gelten

    $\displaystyle \int_\gamma f \;=\; 0 $

    für alle geschlossenen Wege $ \gamma$ . Dies widerspräche aber dem Ergebnis aus 1.

    Also ist das Vektorfeld $ f$ nicht konservativ.

    Bemerkung: Dies wiederspricht nicht dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegrale, denn das Gebiet $ \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ ist nicht einfach zusammenhängend (und insbesondere nicht sternförmig). Es hat ein ,,Loch``bei $ (0,0)^\mathrm{t}$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006