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Mathematik-Online-Lexikon:

Volumen eines Kegels

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Sei $ M\subseteq\mathbb{R}^2$ eine meßbare Teilmenge. Sei $ a=(a_1,a_2,h)\in\mathbb{R}^3$ mit $ h>0$ . Sei

$\displaystyle K=\left\{\left.\lambda\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ h\end{pmatrix}+(... ...\vert\; \lambda\in[0,1],\; \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}\in M\right\} $

der Kegel im $ \mathbb{R}^3$ mit Grundfläche $ M\times\{0\}$ und Spitze $ a$ . Bestimme das Volumen von $ K$ .

Lösung.

Für $ z\in[0,h]$ ergibt sich der $ z$ -Schnitt von $ K$ zu

$\displaystyle K^z \;=\; \left\{\left.(z/h)\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix}... ...d{pmatrix}\right\vert\; \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}\in M\right\}\;, $

denn in der Darstellung

$\displaystyle K \;=\; \left\{\left.\lambda\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ h\end{pmat... ...\vert\; \lambda\in[0,1],\; \begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}\in M\right\} $

sind die Punkte mit dritter Koordinate $ z$ gerade gegeben durch $ \lambda=z/h$ .

Die Menge $ K^z$ entsteht aus $ M$ durch eine Verschiebung und eine Streckung um den Faktor $ (1-z/h)$ . Daher gilt

$\displaystyle \mathrm{vol}(K^z) \;=\; (1-z/h)^2\;\mathrm{vol}(M)\;. $

Ferner ist $ K^z=\emptyset$ für $ z\notin[0,h]$ . Also ist die Projektion von $ K$ auf die $ z$ -Achse gegeben durch $ K''=[0,h]$ . Nach dem Prinzip von Cavalieri folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(K) &=& \displaystyle\int_0^h... ...ce*{2mm}\\ &=& \dfrac{1}{3}\;h\;\mathrm{vol}(M)\;. \end{array}\end{displaymath}

Kurz, das Volumen des Kegels ist gleich $ \dfrac{1}{3}$ $ \cdot$ Höhe $ \cdot$ Grundfläche.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006