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Mathematik-Online-Lexikon:

Volumen des Parallelepipeds

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Sei $ n\ge 1$ . Sei $ (p_1, \ldots, p_n)$ ein linear unabhängiges Tupel von Vektoren in $ \mathbb{R}^n$ , und sei

$\displaystyle \mathfrak{P}(p_1,\ldots,p_n):=\left\{ \left. \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i p_i \right\vert \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [0,1] \right\} $

das von $ p_1, \ldots, p_n$ aufgespannte Parallelepiped. Bestimme den Inhalt von $ \mathfrak{P}(p_1,\ldots,p_n)$ .

Lösung.

Sei $ A := (p_1, \ldots, p_n) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ die Matrix, welche als $ i$ -te Spalte $ p_i$ beinhaltet.

Sei $ g:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^n$ , $ x\mapsto g(x) = Ax$ . Dann ist $ \mathfrak{P}(p_1,\ldots,p_n)=g([0,1] \times \ldots \times [0,1])$ .

Gemäß Substitutionsregel erhalten wir

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(\mathfrak{P}(p_1, \ldots, p... ...t A \vert\vspace{3mm}\\ & = & \vert \det A \vert. \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006