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Mathematik-Online-Lexikon:

Schwerpunkte eines Viertelkreises und einer Halbkugel

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Es sei $ M \subseteq \mathbb{R}^n$ meßbar. Der Schwerpunkt von $ M$ ist der Punkt $ S=(s_1, \ldots, s_n)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^n$ mit den Koordinaten

$\displaystyle s_i := \dfrac{1}{\mathrm{vol}(M)} \, \int_M x_i \, \mathrm{d}(x_1, \ldots, x_n). $

Berechne jeweils den Schwerpunkt

  1. des Viertelskreises $ M = \{ (x_1,x_2)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; x_1^2 + x_2^2 \leq 1,\; x_1,x_2 \geq 0 \}$ .
  2. der Halbkugel $ M = \{ (x_1,x_2,x_3)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^3 \; \vert\; x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \leq 1,\; x_3 \geq 0 \}$ .

Lösung.

  1. Das Volumen des Viertelskreises $ M$ beträgt $ \mathrm{vol}(M)=\dfrac{\pi}{4}$ .

    Es wird mit Polarkoordinatensubstitution und dem Satz von Fubini

    $\displaystyle \begin{array}{rcl} s_1 & = & \dfrac{4}{\pi} \displaystyle\int_M x... ...3mm}\\ & = & \dfrac{4}{3\pi}\vspace{3mm}\\ & \approx & 0.424 \, . \end{array}$

    Aus Symmetriegründen ist $ s_2 = s_1$ . Der Schwerpunkt ist demnach $ S=\left(\dfrac{4}{3\pi} \, ,\, \dfrac{4}{3\pi}\right)^\mathrm{t}$ .

  2. Das Volumen der Halbkugel $ M$ beträgt $ \mathrm{vol}(M)=\dfrac{2 \pi}{3}$ .

    Mit der Kugelkoordinatensubstitution und dem Satz von Fubini erhalten wir

    $\displaystyle \begin{array}{rcl} s_1 & = & \dfrac{3}{2 \pi} \displaystyle \int_... ...\mathrm{d} \psi \right) \, \mathrm{d} r\vspace{3mm}\\ & = & 0. \; \end{array}$

    Aus Symmetriegründen ist auch $ s_2 = 0$ .

    Weiterhin erhalten wir mit der Kugelkoordinatensubstitution und dem Satz von Fubini

    $\displaystyle \begin{array}{rcl} s_3 & = & \dfrac{3}{2 \pi} \displaystyle\int_M... ..._0^1 \pi r^3 \, \mathrm{d} r\vspace{3mm}\\ & = & \dfrac{3}{8} \, . \end{array}$

    Der Schwerpunkt ist demnach $ S=\left(0 \, , \, 0 \, , \, \dfrac{3}{8}\right)^\mathrm{t}$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006