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Mathematik-Online-Lexikon:

Ein Integral mit Polarkoordinatensubstitution

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Berechne für $ K := \{ (x,y)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; x^2 + y^2 \leq 1,\; y \geq 0 \}$ das Integral

$\displaystyle \int_K \log(x^2 + y^2 + 1) \; \mathrm{d}(x,y). $

Lösung.

Verwenden wir die Polarkoordinatentransformation

$\displaystyle g(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r \cos \varphi\\ r \sin \varphi \end{pmatrix}, $

so ist $ K = g(M)$ mit

$\displaystyle M := \{ (r, \varphi)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; 0 \leq r \leq 1,\; 0 \leq \varphi \leq \pi \}. $

Mit der mehrdimensionalen Substitutionsregel, sowie der eindimensionalen Substitution $ u = r^2+1$ , $ \mathrm{d}u = 2r \, \mathrm{d}r$ , ergibt sich nun

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{g(M)} \log(x^2+y^2+1... ...\\ & = & \dfrac{\pi}{2} ( 2 \log 2 - 1 ) \; . \\ \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006