Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Flächeninhalt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Bestimme den Flächeninhalt von $ \Phi:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}^3$ , $ x\mapsto Ax+b$ , wobei $ A\in\mathbb{R}^{3\times 2}$ und $ b\in\mathbb{R}^3$ .

Lösung.

Es gilt $ \Phi'(x)=A$ für alle $ x$ . Es sei etwa $ A=(a_1,a_2)$ mit $ a_1,a_2\in\mathbb{R}^3$ . Es wird

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{area}(\Phi) &=& \displaystyle\int... ...\vspace*{2mm}\\ &=& \sqrt{\det(A^\mathrm{t}A)}\; , \end{array}\end{displaymath}

wobei wir die Identität

$\displaystyle \Vert a_1\times a_2\Vert^2=\Vert a_1\Vert^2\,\Vert a_2\Vert^2-\Vert a_1^\mathrm{t} a_2\Vert^2 $

verwendet haben.

Es handelt sich hierbei um den Flächeninhalt des von den Spalten von $ A$ aufgespannten Parallelogramms.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006