Mathematik-Online-Lexikon: Oberfläche einer Kugel

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	Oberfläche einer Kugel

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Übersicht

Berechne die Oberfläche einer Kugel mit Radius . Verwende dabei die Parametrisierung

$\displaystyle \Phi:[0,\pi]\times[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}^3,\; (\psi,\varphi)^\m... ...sin\psi)(\cos\varphi)\\ r(\sin\psi)(\sin\varphi)\\ r\cos\psi \end{pmatrix}\;.$

Lösung.

Wir berechnen zunächst den Normalenvektor der Fläche $\Phi$ durch

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{n}_{\Phi} \;=\; \Phi_\psi\times\P... ...pmatrix}\;=\; r(\sin\psi)\cdot\Phi(\psi,\varphi)\;, \end{array}\end{displaymath}$

was der Anschauuung entspricht, daß der Vektor vom Ursprung zu einem Punkt auf der Kugel normal zur Kugeloberfläche steht.

Also errechnet sich der Flächeninhalt der Kugel unter Beachtung von $\Vert\Phi(\psi,\varphi)\Vert=r$ zu

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{area}(\Phi) &=& \displaystyle\int... ...os\psi\right]_0^\pi\vspace*{4mm}\\ &=& 4\pi r^2\;. \end{array}\end{displaymath}$

Der Flächeninhalt des Kreises mit Radius ist $\pi r^2$ , ihr Umfang ist davon die Ableitung nach , nämlich $2\pi r$ .

Das Volumen der Kugel mit Radius ist $4\pi r^3/3$ , ihre Oberfläche ist, wie eben gesehen, davon die Ableitung nach , nämlich $4\pi r^2$ .

Warum?

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

[Verweise]

automatisch erstellt am 11. 8. 2006