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Mathematik-Online-Lexikon:

Rotationsflächen

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Sei $ f:[a,b]\to\mathbb{R}$ eine stetig differenzierbare Funktion, wobei $ a,b\in\mathbb{R}$ mit $ a\leq b$ .

  1. Sei $ f(x)\geq 0$ für alle $ x\in[a,b]$ . Gib eine Formel an für den Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn der Graph von $ f$ um die $ x$ -Achse rotiert.
  2. Sei $ a\geq 0$ . Gib eine Formel an für den Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn der Graph von $ f$ um die $ y$ -Achse rotiert.
  3. Bestimme mit Hilfe von 1. die Mantelfläche eines Kegels mit kreisförmiger Grundfläche vom Radius $ r$ und Höhe $ h$ .
  4. Bestimme mit Hilfe von 1. die Oberfläche einer Kugel mit Radius $ r$ .
  5. Bestimme mit Hilfe von 1. den Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn die Kettenlinie $ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ , $ x\in[-1,1]$ , um die $ x$ -Achse rotiert.

Lösung.

Sei $ \gamma$ die Kurve, die den Graphen von $ f$ beschreibt, d.h. sei

$\displaystyle \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2\; ,\;\;\; \gamma(t)\; :=\; {t\choose f(t)}\;. $

  1. Die zweite Koordinate $ s_2$ des Kurvenschwerpunkts $ (s_1,s_2)^\mathrm{t}$ von $ \gamma$ ist gegeben durch

    $\displaystyle s_2 \;=\; \dfrac{1}{\ell(\gamma)}\int_a^b\gamma_2(t)\Vert\dot{\g... ...t \;=\; \dfrac{1}{\ell(\gamma)}\int_a^b f(t)\sqrt{1+(f'(t))^2}\;\mathrm{d}t\;. $

    Also ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt der Rotationsfläche des Graphen von $ f$ um die $ x$ -Achse mit der zweiten Guldinschen Regel zu

    $\displaystyle \mathrm{area}(\Phi) \;=\; \ell(\gamma)\cdot 2\pi s_2 \;=\; 2\pi\int_a^b f(t)\sqrt{1+(f'(t))^2}\;\mathrm{d}t\;. $

  2. Die erste Koordinate $ s_1$ des Kurvenschwerpunkts $ (s_1,s_2)^\mathrm{t}$ von $ \gamma$ ist gegeben durch

    $\displaystyle s_1 \;=\; \dfrac{1}{\ell(\gamma)}\int_a^b\gamma_1(t)\Vert\dot{\g... ...{d}t \;=\; \dfrac{1}{\ell(\gamma)}\int_a^b t\sqrt{1+(f'(t))^2}\;\mathrm{d}t\;. $

    Also ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt der Rotationsfläche des Graphen von $ f$ um die $ y$ -Achse mit der zweiten Guldinschen Regel zu

    $\displaystyle \mathrm{area}(\Phi) \;=\; \ell(\gamma)\cdot 2\pi s_1 \;=\; 2\pi\int_a^b t\sqrt{1+(f'(t))^2}\;\mathrm{d}t\;. $

  3. Sei $ f:[0,h]\to\mathbb{R}$ , $ x\longrightarrow xr/h$ . Die zugehörige Rotationsfläche um die $ x$ -Achse ist die gesuchte Mantelfläche und ergibt sich mit 1. zu

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 2\pi\displaystyle\int_0^h f(t)\sqrt{1+(f'... ...space*{2mm} \\ & = & \pi r\sqrt{r^2 + h^2}\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

  4. Sei $ f:[-r,+r]\to\mathbb{R}$ , $ x\longrightarrow \sqrt{r^2 - x^2}$ . Die zugehörige Rotationsfläche um die $ x$ -Achse ist die gesuchte Kugeloberfläche und ergibt sich mit 1. zu

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 2\pi\displaystyle\int_{-r}^r f(t)\sqrt{1+... ...ace*{2mm} \\ & = & 4\pi r^2 \; . \vspace*{2mm} \\ \end{array}\end{displaymath}

  5. Sei $ f:[-1,+1]\to\mathbb{R}$ , $ x\longrightarrow \cosh x$ . Die zugehörige Rotationsfläche um die $ x$ -Achse ergibt sich mit 1. zu

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 2\pi\displaystyle\int_{-1}^1 f(t)\sqrt{1+... ...}^1\vspace*{2mm} \\ & = & \pi(2 + \sinh 2)\; . \\ \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006