Mathematik-Online-Lexikon: Eigenschaften von Divergenz und Rotation

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	Eigenschaften von Divergenz und Rotation

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Übersicht

Es seien $G\subseteq\mathbb{R}^3$ ein Gebiet, $f:G\to\mathbb{R}$ eine stetig differenzierbare skalare Funktion, und $g,h:G\to\mathbb{R}^3$ stetig differenzierbare Vektorfelder. Zeige.

$\mathrm{div}(g\times h) = h^\mathrm{t} (\mathrm{rot }g) - g^\mathrm{t} (\mathrm{rot } h)$ .
Ist zweimal stetig differenzierbar, so gilt $\mathrm{rot}(\mathrm{grad }f)=0$ .
Ist zweimal stetig differenzierbar, so gilt $\mathrm{div}(\mathrm{rot }g)=0$ .
Der Greensche Integralsatz folgt aus dem Stokesschen Integralsatz, wenn letzterer auf die Fläche $\Phi:K\to\mathbb{R}^3$ , $(x_1,x_2)^\mathrm{t}\mapsto (x_1,x_2,0)^\mathrm{t}$ , $K \subseteq \mathbb{R}^2$ regulär, angewandt wird.

Lösung.

Es sei stets $g=(g_1,g_2,g_3)^\mathrm{t}$ und $h=(h_1,h_2,h_3)^\mathrm{t}$ .

Es wird

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{div}(g\times h) &=& \mathrm{div}\... ...rm{rot }g) - g^\mathrm{t} (\mathrm{rot } h) \;. \\ \end{array}\end{displaymath}$
Es wird nach dem Satz von Schwarz

$\displaystyle \mathrm{rot}(\mathrm{grad }f) \;=\; \mathrm{rot}\begin{pmatrix}f_... ...x_2x_3}\\ f_{x_1x_3}-f_{x_3x_1}\\ f_{x_2x_1}-f_{x_1x_2}\end{pmatrix}\;=\; 0\;.$
Es wird nach dem Satz von Schwarz

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{div}(\mathrm{rot }g) &=& \mathrm{... ...{\partial x_1\partial x_3}\vspace*{3mm}\\ &=& 0\;. \end{array}\end{displaymath}$
Sei $K \subseteq \mathbb{R}^2$ regulär, wobei $\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2$ den positiv orientierten Rand $\partial K$ parametrisiere. Sei $O\subseteq\mathbb{R}^2$ eine offene Obermenge von und sei $f:O\to\mathbb{R}^2$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Sei $\Phi:K\to\mathbb{R}^3$ , $(x_1,x_2)^\mathrm{t}\mapsto (x_1,x_2,0)^\mathrm{t}$ . Dann gilt

$\displaystyle \partial\Phi \;=\; \Phi\circ\gamma\;.$

Sei $G := O\times\mathbb{R}$ als offene Obermenge von $\mathcal T(\Phi)$ gewählt, und sei $\tilde f: G\to\mathbb{R}^3$ , $(x_1,x_2,x_3)^\mathrm{t}\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2),0)^\mathrm{t}$ gesetzt.
Die linke Seite der Gleichung des Stokesschen Integralsatzes für $\tilde f$ wird zu

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\Phi \mathrm{rot}\,\til... ...l x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\; . \\ \end{array}\end{displaymath}$

Die rechte Seite der Gleichung des Stokesschen Integralsatzes für $\tilde f$ wird zu

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\partial\Phi}\tilde{f}... ...pace{3mm}\\ &=& \displaystyle\int_\gamma f \; .\\ \end{array}\end{displaymath}$

Der Stokessche Integralsatz für $\tilde{f}$ impliziert also den Greenschen Integralsatz für .

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

[Verweise]

automatisch erstellt am 11. 8. 2006