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Mathematik-Online-Lexikon:

Gaußscher Integralsatz


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Es sei $ B$ die dreidimensionale Kugel mit Radius $ R>0$ um den Nullpunkt. Sei das Vektorfeld $ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ definiert durch $ f(x,y,z)=(x^3,y^3,z^3)^\mathrm{t}$ .

Bestimme $ \int_{\partial B} f$ einmal durch direkte Rechnung, und einmal unter Zuhilfenahme des Satzes von Gauß.

Lösung.

Es ist

$\displaystyle \mathrm{div } f(x,y,z) \; =\; 3 (x^2+y^2+z^2)\; .
$

Mit dem Gaußschen Integralsatz erhalten wir unter Verwendung von Kugelkoordinaten - bei welchen der Normalenvektor in der Tat stets nicht nach innen zeigt -

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_{\partial B} f
&=& \d...
...r\vspace{3mm}\\
&=& \dfrac{12}{5} \, \pi R^5 \, .
\end{array}\end{displaymath}

Eine direkte Rechnung liefert, ebenfalls unter Verwendung von Kugelkoordinaten, aber etwas mühevoller,

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_{\partial B} f
& = & ...
...space{3mm}\\
& = & \dfrac{12}{5} \, \pi R^5\; ,\\
\end{array}\end{displaymath}

wie zu erwarten.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 11.  8. 2006