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Mathematik-Online-Lexikon:

Partialbruchzerlegung des Cotangens

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Seien $ \mu\in\mathbb{R}\,\backslash\,\mathbb{Z}$. Sei $ f$ eine $ 2\pi$-periodische Funktion mit $ f(x) = \cos(\mu x)$ für $ -\pi < x \le \pi$.

Berechne die Fourierreihe von $ f$. Vergleiche mit $ \mathrm{S}_f$.

Gewinne daraus durch Einsetzen von $ \pi$ die ,,Partialbruchzerlegung des Cotangens``

$\displaystyle \pi\cot(\mu\pi)\; =\;\frac{1}{\mu}+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1... ...u+k}\right)\ \ \mathrm{f''ur\ } \mu\in\mathbb{R}\,\setminus\,\mathbb{Z}\; \,. $

Lösung.

Eine direkte Berechnung der reellen Fourierkoeffizienten wäre aufwendiger als die nun durchzuführende Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten von $ f$. Es ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} c_k & = & \frac{1}{2\pi}\displaystyle\in... ...t\left(\dfrac{1}{\mu-k}+\dfrac{1}{\mu+k}\right) \\ \end{array}\end{displaymath}

für $ k\in\mathbb{Z}$. Daher folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{rcrcl} a_k &=& 2\,\operatorname{Re}(c_k) & = &... ... \\ b_k &=& -2\,\operatorname{Im}(c_k) & = & 0 \\ \end{array}\end{displaymath}

und

$\displaystyle \mathrm{S}_f(x) \;=\; \frac{\sin(\mu\pi)}{\pi}\cdot\left(\frac{1}... ...=1}^\infty{(-1)^k\left(\frac{1}{\mu-k}+\frac{1}{\mu+k}\right)}\cos(kx)\right). $

Skizze des Graphen der ersten $ 3$ und des Graphen der ersten $ 100$ Summanden der Fourierreihe für $ \mu = 1.6$.
\includegraphics[width = 12cm, height = 8cm]{l2.eps}

Die Funktion $ f$ ist wegen $ \cos(\mu\pi) = \cos(-\mu\pi)$ auf ganz $ \mathbb{R}$ stetig und auch links- und rechtsseitig differenzierbar. Deshalb gilt $ \mathrm{S}_f(x)=f(x)$ für alle $ x\in\mathbb{R}$.

Einsetzen von $ \pi$ ergibt

$\displaystyle \cos(\mu\pi)\;=\;\frac{\sin(\mu\pi)}{\pi}\cdot\left(\frac{1}{\mu}... ...infty{(-1)^k\left(\frac{1}{\mu-k}+\frac{1}{\mu+k}\right)}\cos(k\pi)\right)\; , $

und somit

$\displaystyle \pi\cot(\mu\pi) \;=\; \frac{1}{\mu}+\sum_{k=1}^\infty{\left(\frac{1}{\mu-k}+\frac{1}{\mu+k}\right)} \; . $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 13.  3. 2009