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Mathematik-Online-Lexikon:

Funktionalgleichung gilt nicht für die Matrixexponentialfunktion

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Gilt stets $ \exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)$ für $ A,\, B\,\in\,\mathbb{C}^{2\times 2}\;$ ?

Lösung.

Wenn wir ein Gegenbeispiel suchen, müssen wir bei der Wahl von $ A$ und $ B$ darauf achten, daß $ AB\ne BA$ .

Es sei etwa $ A = \begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ und $ B = \begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix}$ . Eine direkte Rechnung zeigt, daß

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \exp(A) & = & \begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\en... ...& = & \begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix} \; ,\\ \end{array}\end{displaymath}

und somit $ \exp(A)\exp(B) = \begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ .

Dagegen liefert die Jordanform von $ A + B = \begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$

$\displaystyle A + B \;=\; \begin{pmatrix}1&\phantom{-}1\\ 1&-1\end{pmatrix}\beg... ...\\ 0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\phantom{-}1\\ 1&-1\end{pmatrix}^{-1}\; , $

und somit

$\displaystyle \exp(A + B) \;=\; \begin{pmatrix}1&\phantom{-}1\\ 1&-1\end{pmatr... ...} \;=\; \begin{pmatrix}\cosh 1 & \sinh 1 \\ \sinh 1 &\cosh 1\end{pmatrix}\; . $

Da in $ \exp(A)\exp(B)$ die beiden Hauptdiagonaleinträge nicht übereinstimmen, erkennen wir, daß $ \exp(A)\exp(B) \ne \exp(A + B)$ .
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006