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Mathematik-Online-Lexikon:

Eigenschaften der Matrixeponentialfunktion

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Es sei $ n\ge 1$ und $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ . Zeige:

1.
Es ist $ \exp(-A) = \exp(A)^{-1}$ . Insbesondere ist $ \exp(A)$ stets invertierbar.
2.
Es ist $ \exp(A^\mathrm{t}) = \exp(A)^\mathrm{t}$ .
3.
Es ist $ \exp((s+t)A) = \exp(sA)\exp(tA)$ für $ s,\, t\,\in\,\mathbb{C}$ .
4.
Es ist $ \exp(\lambda\mathrm{E} + A) = \exp(\lambda)\exp(A)$ für $ \lambda\in\mathbb{C}$ .
5.
Es ist $ \det(\exp(A)) = \exp(\mathrm{Spur }A)$ . Insbesondere ist $ \exp(A)$ stets invertierbar.

Lösung.

1.
Da $ A(-A) = (-A)A$ , ist $ \exp(A)\exp(-A) = \exp(A - A) = \exp(0) = \mathrm{E}$ .
2.
Nach Definition ist

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \exp(A)^\mathrm{t} & = & \left(\displays... ...2mm}\\ & = & \exp\left(A^\mathrm{t}\right)\; , \\ \end{array}\end{displaymath}

wobei die erste Gleichheit gilt, da die Reihe eintragsweise konvergiert.
3.
Es ist

$\displaystyle \exp((s+t)A) \;=\; \exp(sA+tA) \;=\; \exp(sA)\exp(tA)\; , $

da $ (sA)(tA) = (tA)(sA)$ .
4.
Es ist

$\displaystyle \exp(\lambda\mathrm{E} + A) \;=\; \exp(\lambda\mathrm{E})\exp(A) \;=\; \exp(\lambda)\exp(A) \; , $

da $ (\lambda \mathrm{E}) A = A (\lambda \mathrm{E})$ .
5.
Da beide Seiten invariant unter Konjugation sind, d.h. unter Übergang von $ A$ nach $ S^{-1}A S$ für eine invertierbare Matrix $ S$ , dürfen wir $ A$ als in Jordanform gegeben annehmen. Da beide Seiten, auf eine Blockhauptdiagonalmatrix angewandt, sich multiplikativ in die Blöcke zerlegen, dürfen wir annehmen, daß $ A = \mathrm{J}_k(\lambda)$ für ein $ k\ge 1$ und ein $ \lambda\in\mathbb{C}$ . Nun folgt

$\displaystyle \det(\exp(\mathrm{J}_k(\lambda))) \;=\; \exp(\lambda)^k \;=\; \exp(k\lambda) \;=\; \exp(\mathrm{Spur }\mathrm{J}_k(\lambda))\; . $

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006