Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

System von linearen Differentialgleichungen bei diagonalisierbarer Matrix


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Es sei $ A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ eine diagonalisierbare Matrix, d.h. es gebe eine reguläre Matrix $ S \in \mathbb{C}^{n \times n}$ so, daß

$\displaystyle S^{-1} A S \; =\;
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & 0\\
& \ddots &\\
0 & & \lambda_n
\end{pmatrix},
$

wobei auf der Diagonalen die Eigenwerte $ \lambda_1, \ldots, \lambda_n$ der Matrix $ A$ stehen.

Zeige, daß in diesem Fall

$\displaystyle F(t) \; =\; S
\begin{pmatrix}
e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0\\ ...
...s & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_n t}
\end{pmatrix}$

eine Fundamentalmatrix des homogenen linearen Systems von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

$\displaystyle \dot y \; =\; A y
$

ist.

Lösung.

Die gegebene Diagonalmatrix

$\displaystyle S^{-1} A S \; =\;
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0...
...& \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n \\
\end{pmatrix} \; =\; J
$

ist in Jordanform. Damit ist also ein Fundamentalmatrix der Differentialgleichung gegeben durch

$\displaystyle F(t) \; =\; S \, \mathrm{exp}(tJ) \; =\; S
\begin{pmatrix}
e^{\la...
... & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t}
\end{pmatrix} \; .
$

Diesen Umstand kann man sich alternativ auch leicht wie folgt erklären.

Substituiert man $ y = S z$ , bzw. $ z = S^{-1} y$ , so führt das gegebene System $ \dot y = A y$ auf das System $ (S\dot z) = A (S z)$ , d.h. auf das System

$\displaystyle \dot z = \mathrm{diag}(\lambda_1, \, \ldots, \, \lambda_n) z
$

bzw.

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\dot z_1 & = & \lambda_1 z_1\vspace{3mm}\...
...s & \vspace{3mm}\\
\dot z_n & = & \lambda_n z_n\,.
\end{array}\end{displaymath}

Zu diesem System ist eine Fundamentalmatrix leicht auffindbar, nämlich

$\displaystyle \begin{pmatrix}
e^{\lambda_1 t} & 0 & \cdots & 0\\
0 & e^{\lambd...
...s & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & 0 & e^{\lambda_n t}
\end{pmatrix} \; .
$

Die Resubstitution $ y = S z$ führt schließlich auf die gewünschte Behauptung.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 11.  8. 2006