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Mathematik-Online-Lexikon:

Ein System linearer Differentialgleichungen

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Löse das System

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \dot y_1 & = & y_1 + y_2 \\ \dot y_2 & = & y_1 + y_2 \; .\\ \end{array}\end{displaymath}

Lösung.

Wir haben $ \dot y = A y$ zu lösen, wobei $ A = \begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ .

Nun ist $ \exp(tA) = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}1&-1\\ -1&1\end{array}\right) + \frac{e^{2t}}{2}\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ eine Fundamentalmatrix.

Dies kann man $ A^n = 2^{n-1} A$ , wobei $ n\ge 1$ , und der Reihendarstellung von $ e^{tA}$ oder aber einer Jordanformüberlegung entnehmen.

Eine beliebige Lösung des gegebenen Systems von Differentialgleichungen ist also von der Form

$\displaystyle y \;=\; \left(\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}1&-1\\ -1&1\end{... ...gin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}$

für $ v = \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^2$ beliebig. Ausgeschrieben bedeutet dies

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} y_1 & = & \dfrac{v_1}{2}(1 + e^{2t}) & ... ...}(-1 + e^{2t}) & + & \dfrac{v_2}{2}(1 + e^{2t}) \\ \end{array}\end{displaymath}

für beliebige $ v_1,\, v_2\,\in\,\mathbb{C}$ . Dies kann man noch umformulieren zu

\begin{displaymath} \begin{array}{rclcl} y_1 & = & w_1 e^{2t} & + & w_2 \vspace*{3mm}\\ y_2 & = & w_1 e^{2t} & - & w_2 \\ \end{array}\end{displaymath}

für beliebige $ w_1,\, w_2\,\in\,\mathbb{C}$ . Dies hätte man wiederum dem System durch Addition und Subtraktion der beiden Gleichungen auch ansehen können.
(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006