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Mathematik-Online-Lexikon: | |
Stromfluss in einem Schwingkreis |
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Bestimme die allgemeine Lösung von
Diese Gleichung beschreibt den Stromfluß in einem mit der angelegten Wechselspannung angeregten Schwingkreis, welcher aus einer Spule von Induktivität , einem Widerstand von Widerstand und einem Kondensator von Kapazität bestehe.
Lösung.
Wir wollen den in der Wiederholung mit III bezeichneten Lösungsweg verwenden.
Wir setzen hierzu
und lösen . Schreibe , und . Am Ende müssen wir dann wieder von zu übergehen.
Wir wollen berechnen. Da die Matrix Parameter enthält, gehen wir näher auf diese Berechnung ein. Ihre Eigenwerte sind und , und nach Voraussetzung an verschieden und beide reell.
Die Jordanform ergibt sich zu
Somit ist
Für die Variation der Konstanten beachten wir zunächst, daß wir nach Ersetzen von durch
erhalten. Nun wird, für beliebig wählbare Konstanten ,
Reskalieren der Konstanten und zu Konstanten und Betrachten des ersten Eintrags von liefert die allgemeine Lösung
Da wir anstelle von von ausgegangen waren, müssen wir im ersten Summanden noch den Realteil bilden, was
liefert. Teilweises Rückeinsetzen der ursprünglichen Größen
bringt die allgemeine Lösung auf die Form
für beliebig gewählt. In der Praxis sind hier, da und reell sind, auch die Stromstärken und reell.
Skizze für , , , , (von oben nach unten), und .
Interpretation. Nach Abklingen des homogenen Bestandteils verbleibt für große eine Schwingung mit Frequenz gleich der Erregerfrequenz. Die Phasenverschiebung im Vergleich zur Erregerspannung, sowie die Amplitude können der oben hergeleiteten Formel entnommen werden.
siehe auch:
automatisch erstellt am 11. 8. 2006 |