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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel

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Es sei $ V$ ein $ K$-Vektorraum der Dimension $ n$, und es sei $ {\color{darkblue} B} = (b_1,\dots, b_n)$ eine Basis von $ V$. Die Abbildung

$\displaystyle \vphantom{k}_{\color{darkblue} B}{}\operatorname{koord}: V \rightarrow K^n : v \mapsto \vphantom{v}_{\color{darkblue} B}{}v, $

die jedem Vektor das Koordinatentupel bezüglich $ {\color{darkblue} B}$ zuordnet, ist linear.

Beweis: Für $ v= \sum\limits_{j=1}^{n}v_j b_j$ und $ w=\sum\limits_{j=1}^{n} w_j b_j$ gilt $ \vphantom{v}_{\color{darkblue} B}v=(v_1,\dots,v_n)$ und $ \vphantom{w}_{\color{darkblue} B}w = (w_1,\dots,w_n)$. Wegen $ v+w = \sum\limits_{j=1}^{n} (v_j+w_j)b_j$ gilt dann

$\displaystyle \vphantom{\operatorname{k}}_{\color{darkblue} B}\operatorname{koord}(v+w)$ $\displaystyle = \vphantom{(v+w)}_{\color{darkblue} B}(v+w)$    
  $\displaystyle = (v_1+w_1,\dots,v_n+w_n) = (v_1,\dots,v_n) + (w_1,\dots,w_n)$    
  $\displaystyle = \vphantom{v}_{\color{darkblue} B}v + \vphantom{w}_{\color{darkb... ...}(v) + \vphantom{\operatorname{k}}_{\color{darkblue} B}\operatorname{koord}(w).$    

Also ist die Abbildung $ \vphantom{\operatorname{k}}_{\color{darkblue} B}\operatorname{koord}$ additiv.
Wegen $ \vphantom{\operatorname{k}}_{\color{darkblue} B}\operatorname{koord}(kv) = (kv... ...n) = k \vphantom{\operatorname{k}}_{\color{darkblue} B}\operatorname{koord}(v) $ ist $ \vphantom{\operatorname{k}}_{\color{darkblue} B}\operatorname{koord}$ auch homogen.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 16.  8. 2006