Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel

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Übersicht

Es sei $\operatorname{Pol}_n\mathbb{R}$ der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad höchstens

. Dies ist ein $\mathbb{R}$ -Vektorraum der Dimension

, als Basis wollen wir $M_n=(1,X,X^2,X^3,\dots,X_n)$ nehmen.

Die folgenden Abbildungen sind linear:

Ableiten (als Abbildung $\alpha: \operatorname{Pol}_3 \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Pol}_2 \mathbb{R}$ ):
$f(X) = f_3X^3+f_2X^2+f_1^X+f_0 \mapsto f'(X)= 3 f_3X^2+2f_2X+f_1$ .
Integrieren (als Abbildung $\beta: \operatorname{Pol}_2 \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Pol}_3 \mathbb{R}$ ):
$g(X) = g_2X^2+g_1X+g_0 \mapsto G(X)= \frac13g_2X^3+\frac12g_1X^2+g_0X$ .
(Hier ist das bestimmte Integral gemeint: $G(X)=\int\limits_0^Xg(t)\,dt$ - nicht eine beliebige Stammfunktion!)

Bezüglich der Basen ${\color{darkgreen} M_2}$ und ${\color{darkblue} M_3}$ erhalten wir:

$\displaystyle \vphantom{\alpha}_{{\color{darkgreen} M_2}}\alpha_{{\color{darkbl... ... & 0 & 0\\ 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 0 & \frac13 \end{array}\right) \end{array}.$

Für die Kompositionen erhalten wir:

$\displaystyle \vphantom{(\alpha\circ\beta)}_{\color{darkgreen} M_2 }(\alpha\cir... ...right) =\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0&1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\displaystyle \vphantom{(\beta\circ\alpha)}_{\color{darkblue} M_3 }(\beta\circ\... ...ray}{cccc}0 & 0& 0& 0\\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0&0&1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Diese Matrizen beschreiben die Abbildungen

$\displaystyle \alpha \circ \beta : \operatorname{Pol}_2 \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Pol}_2 \mathbb{R}: g(X)$	$\displaystyle \mapsto G'(X) = g(X),$
$\displaystyle \beta\circ\alpha : \operatorname{Pol}_3 \mathbb{R} \rightarrow \operatorname{Pol}_3 \mathbb{R} : f(X)$	$\displaystyle = f_3X^3+f_2X^2+f_1X+f_0$
	$\displaystyle \mapsto f_3X^3+f_2X^2+f_1X.$

[Verweise]

automatisch erstellt am 15. 8. 2006