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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Substitution

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Typischerweise versucht man durch Substitution den Integranden zu vereinfachen. Beispielsweise liegt es für

$\displaystyle \int \frac{e^{3y}}{e^{2y}-1}\, dy $

nahe

$\displaystyle y=g(x)=\ln x \quad \Leftrightarrow \quad x=e^y $

zu setzen. Dies ergibt wegen

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=g^\prime (x)= \frac{1}{x}=e^{-y} $

das transformierte unbestimmte Integral
$\displaystyle \int \frac{x^3}{x^2-1} \, \frac{dy}{dx} \, dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int \frac{x^2}{x^2-1}\,dx = \int \left( 1+\frac{1}{x^2-1} \right)\, dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int 1\,dx + \int \frac{1}{x^2-1}\,dx = x + \frac{1}{2} \ln \left\vert \frac{x-1}{x+1} \right\vert +c \,.$  

Durch Rücksubstitution von $ x=e^y$ erhält man schließlich

$\displaystyle F(y)=e^y+\frac{1}{2} \left\vert \frac{e^y-1}{e^y+1} \right\vert+c\,. $

(Autoren: Höllig/Kopf)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 8.  4. 2008