Mathematik-Online-Lexikon: Volumen eines Paraboloids

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	Volumen eines Paraboloids

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Das abgebildete Paraboloid entsteht durch Rotation der Kurve $y=\sqrt{x}$ um die

-Achse.

$\includegraphics[width=.4\textwidth]{paraboloid}$

Gemäß der Formel für Rotationskörper ist das Volumen

$\displaystyle \pi \int_0^a \left(\sqrt{x}\right)^2 \,dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2}\right]_0^a = \frac{1}{2}\pi a^2\,.$

Alternativ erhält man durch Integration über Zylindermäntel

$\displaystyle 2 \pi \int_0^{\sqrt{a}} r(a - r^2) dr = 2 \pi \left[ -\frac{1}{4} (a - r^2)^2 \right]_0^{\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \pi a^2\,.$

(Autoren: Höllig/Hörner)

automatisch erstellt am 8. 4. 2008