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Beispiel: Lineare Betragsungleichung

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Beim Lösen von Betrags(un)gleichungen sind in der Regel Fallunterscheidungen notwendig. Dabei müssen die Fälle, dass das Argument größer oder gleich Null, bzw. kleiner Null ist separat betrachtet werden. Die Betragsungleichung

$\displaystyle -\vert x\vert \leq x-2 \ ; \ x \in \mathbb{R} $

kann rechnerisch folgendermaßen gelöst werden:

Fall 1: Ist $ x \geq 0$ dann lautet die Ungleichung

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} &-\vert x\vert &\leq &x-2\\ \Longleftri... ...\leq & -2\\ \Longleftrightarrow & x & \geq & 1 \,, \end{array}\end{displaymath}

d.h. im ersten Fall ($ x \geq 0$) ergibt sich also $ {L}_1=\{x \in \mathbb{R} \ : \ x \geq 1\}$ als Lösungsmenge.

Fall 2: Ist $ x <0 $ dann lautet die Ungleichung

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} &-\vert x\vert &\leq &x-2\\ \Longleftri... ...eq &x- 2\\ \Longleftrightarrow & 0 & \leq & -2 \,. \end{array}\end{displaymath}

Die letzte Ungleichung ist immer falsch. Im zweiten Fall ($ x <0 $) gibt es also keine Lösung, d.h. $ {L}_2=\emptyset$.

Insgesamt erhält man also als Lösungsmenge für die Ungleichung

$\displaystyle {L} =\mathcal{L}_1=\{x \in \mathbb{R} \ : \ x \geq 1\}=[1,\infty)\,.$

Diese Lösung kann auch graphisch bestimmt werden. Setzt man die linke Seite $ f(x)=-\vert x\vert$ und die rechte Seite $ g(x)=x-2$, dann erhält man die Schaubilder

\includegraphics{bild06}

Das rot eingezeichnete Intervall $ [1,\infty)$ ist der Bereich in dem die (grüne) linke Seite $ f(x)=-\vert x\vert$ kleiner oder gleich der (blauen) rechten Seite $ g(x)=x-2$ ist. Das rote Intervall $ [1,\infty)$ beschreibt also die Lösung der Ungleichung $ f(x) \leq g(x)$.

(Autor: Vorkurs Mathematik)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 23. 10. 2007