Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Harmonische Reihe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Die harmonische Reihe:

$\displaystyle s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\,, $

divergiert bzw. hat den uneigentlichen Grenzwert $ s = \infty$.

Allgemeiner ist die Reihe

$\displaystyle s_{\alpha} = \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-\alpha} $

für $ \alpha \leq 1$ divergent und für $ \alpha > 1$ konvergent. Einige spezielle Werte sind
$\displaystyle s_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \hdots = \dfrac{\pi^2}{6}\,,$  
$\displaystyle s_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \hdots = \dfrac{\pi^4}{90}\,,$  
$\displaystyle s_6$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-6} = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \hdots= \dfrac{\pi^6}{945}\,.$  

(Autoren: App/Höllig )

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 17.  8. 2012