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Mathematik-Online-Lexikon:

Ableitung der Umkehrfunktion

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Um die Ableitung der Umkehrfunktion $ x = \arctan y$ der Tangensfunktion zu bestimmen, berechnet man zunächst

$\displaystyle \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$    

Damit folgt

$\displaystyle \frac{d}{dy} \arctan y = \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)^{-1} = \cos^2 x.$    

\includegraphics[height=4.5cm]{arctan_1.eps}   \includegraphics[height=4.5cm]{arccot_1.eps}
Die rechte Seite muss nun als Funktion von $ y$ geschrieben werden. Dazu verwendet man die Identität

$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + y^2$    

und erhält

$\displaystyle \frac{d}{dy} \arctan y = \frac{1}{1 + y^2}.$    

Analog zeigt man für die Umkehrfunktion des Kotangens,

$\displaystyle \frac{d}{dy} \operatorname{arccot} y = -\frac{1}{1 + y^2}.$    

(Autoren: App/Höllig )

siehe auch:

  automatisch erstellt am 8.  4. 2008