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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel zu: Extremwerttest

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Das Polynom

$\displaystyle p(x) = (x+1)^2 x^3 (x-1)^4 $

hat bei $ x=-1$ eine doppelte, bei $ x=0$ eine dreifache und bei $ x=1$ eine vierfache Nullstelle.
\includegraphics[width=8.4cm]{Extremwerttest.eps}

Es gilt

$\displaystyle p(-1) = p'(-1) = 0, \quad p''(-1) = 2(-1)^3(-2)^4 < 0\,. $

Bei $ x=-1$ hat $ p$ also ein Maximum. Bei $ x=1$ hat $ p$ ein Minimum, denn

$\displaystyle p(1) = \hdots = p'''(1) = 0, \quad p^{(4)}(1) = 2^2 1^3 4! > 0\,. $

Schließlich besitzt $ p$ wegen

$\displaystyle p(0) = p'(0) = p''(0) = 0, \quad p'''(0) = 3! (-1)^4 \ne 0 $

und einem Vorzeichenwechsel bei $ x=0$ keine Extremstelle im Ursprung.
(Autoren: App/Höllig )
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  4. 2008