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Mathematik-Online-Lexikon:

Komplexer Widerstand in Wechselstromnetzwerken

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Für die Analyse linearer Wechselstromnetzwerke ist die komplexe Schreibweise vorteilhaft. Schreibt man für die Spannung und Stromstärke

$\displaystyle U(t) = U_0 e^{\mathrm{i}(\omega t+\varphi)}\,, \quad I(t) = I_0 e^{\mathrm{i}(\omega t+\psi)}\,, $

so ist der komplexe Widerstand

$\displaystyle Z = U(t)/I(t) $

zeitunabhängig. Für die Grundelemente

Widerstand $ R$   Spule $ L$   Kondensator $ C$        
\includegraphics[width=.2\moimagesize]{komplexe_zahlen_schaltelement_widerstand.eps}      \includegraphics[width=.2\moimagesize]{komplexe_zahlen_schaltelement_induktivitaet.eps}      \includegraphics[width=.2\moimagesize]{komplexe_zahlen_schaltelement_kapazitaet.eps}        
$ Z=R$   $ Z=\mathrm{i}\omega L$   $ Z=(\mathrm{i}\omega C)^{-1}$        
addieren sich die komplexen Widerstände bei Serienschaltung:

$\displaystyle Z_{\text{gesamt}} = Z_1 + Z_2 $

und ihre Kehrwerte bei Parallelschaltung:

$\displaystyle \frac{1}{Z_{\text{gesamt}}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} \quad \Rightarrow \quad Z_{\text{gesamt}}=\frac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}\, . $

Man bezeichnet $ \operatorname{Re} Z$ als Wirkwiderstand, $ \operatorname{Im} Z$ als Blindwiderstand und $ \vert Z\vert$ als Scheinwiderstand oder Impedanz.

Beispielsweise beträgt für den Schaltkreis

\includegraphics[width=.6\moimagesize]{komplexe_zahlen_schaltkreis.eps}
der Gesamtwiderstand

$\displaystyle Z_{\text{gesamt}}=\mathrm{i}\omega L+ \frac{R(\mathrm {i}\omega... ...}{300\Omega-200\mathrm {i}\Omega}\approx (92.31 -38.46\mathrm{i})\Omega \,. $

Bei einer Wechselspannung von $ U_{\text{effektiv}}=220$V fließt dabei ein Effektivstrom von

$\displaystyle I_{\text{effektiv}}=\frac{U_{\text{effektiv}}}{\vert Z\vert}=\frac{220\mathrm{V}}{100\Omega}=2.2\mathrm{A} \,. $

(Autoren: Höllig/Wipper)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 5.  5. 2011