Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Fourier-Transformation der Gauß-Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation:

$\displaystyle f(x) = \exp(-x^2/2) \quad \Leftrightarrow \quad \hat{f}(y) = \sqrt{2\pi}\exp(-y^2/2) \,. $

Zum Beweis schreibt man das Fourier-Integral in der Form

$\displaystyle \hat{f}(y) = \exp(-y^2/2) \int\limits_{-\infty}^\infty \exp(-x^2/2 - \mathrm{i}yx + y^2/2)\,dx $

und setzt

$\displaystyle -z^2/2 = -(x+\mathrm{i}y)^2/2 \,. $

Mit Mitteln der komplexen Analysis lässt sich nun zeigen, dass der Integrationsweg verschoben werden kann: $ z\leftarrow z-\mathrm{i}y$. Damit kann die Berechnung der Fourier-Transformation auf das bekannte Integral

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \exp(-x^2/2)\,dx = \sqrt{2\pi} $

zurückgeführt werden.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 13. 11. 2013