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Beispiel: Monotone Konvergenz

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Die Konvergenz der Folge

$\displaystyle a_n = (1 + 1/n)^n,\quad n = 0, 1, ..., $

gegen die Eulersche Zahl $ e$ kann mit dem Satz über monotone Konvergenz gezeigt werden. Beide Voraussetzungen können mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes bewiesen werden.

(i) Beschränktheit: Aus

$\displaystyle a_n = (1+1/n)^n = 1 + {n \choose 1} \frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + ... $

und

$\displaystyle {n \choose k} = \frac{n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\cdot\cdot k} \leq \frac{n^k}{1\cdot2\cdot\cdot\cdot2} $

folgt

$\displaystyle a_n \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leq 3 $

(ii) Monotonie: Man berechnet $ a_{n+1}$ ebenfalls mit dem binomischen Lehrsatz:

$\displaystyle a_{n+1} = 1 + {n+1 \choose 1} \frac{1}{n+1} + {n+1 \choose 2}\frac{1}{(n+1)^2} + {n+1 \choose 3}\frac{1}{(n+1)^3} + ... . $

Vergleicht man mit der Darstellung von $ a_n$ in (i), so stellt man fest, dass die entsprechenden Terme größer sind:
$\displaystyle {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n-k+1)}{1\cdot2\cdot\cdot\cdot k}\frac{1}{n^k}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \frac{(n+1)\cdot n\cdot\cdot\cdot(n-k+2)}{1\cdot2\cdot\cdot\cdot k}\frac{1}{(n+1)^k}\quad=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {n+1 \choose k}\frac{1}{(n+1)^k}.$  

Dies folgt aus der Ungleichung

$\displaystyle \frac{n-j}{n} \leq \frac{n+1-j}{n+1} $

für die einzelnen Faktoren. Da die Summe für $ a_{n+1}$ noch den Term $ \displaystyle \frac{1}{(n+1)^{n+1}}$ enthält folgt

$\displaystyle a_n < a_{n+1}.$

(Autor: Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  4. 2008