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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Konvergenz einer Folge

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Um das Konvergenz-Kriterium

$\displaystyle \vert a_n - a\vert < \varepsilon \;$   für$\displaystyle \; n > n_{\varepsilon} $

nachzuweisen, kann man zunächst den Ausdruck $ \vert a_n - a\vert$ durch Abschätzung nach oben vereinfachen und dann die so gewonnene Ungleichung nach $ n$ auflösen.

Wendet man dies beispielsweise für die Folge

$\displaystyle a_n = \dfrac{n^2+n}{n^2+1}\,, $

die den Grenzwert $ a=1$ besitzt, an, ist eine mögliche Abschätzung

$\displaystyle \vert a_n - a\vert = \left\vert \frac{n^2+n}{n^2+1} - 1 \right\vert = \left\vert \frac{n-1}{n^2+1} \right\vert \leq \frac{n}{n^2+1}, $

da $ \vert n-1\vert \le n$ für alle $ n\ge 0$. Ausserdem ist $ n^2+1 > n^2$ und damit auch $ \dfrac{1}{n^2+1} < \dfrac{1}{n^2}$. Also folgt daraus

$\displaystyle \vert a_n - a\vert \leq \frac{n}{n^2+1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}. $

Damit $ \dfrac{1}{n} < \varepsilon$ ist, muss $ n > \dfrac{1}{\varepsilon}$ sein. Wählt man nun $ n_\varepsilon$ als eine natürliche Zahl größer als $ \dfrac{1}{\varepsilon}$, dann gilt für alle $ \varepsilon >0$ und alle $ n > n_{\varepsilon}$

$\displaystyle \vert a_n - a\vert < \frac{1}{n} < \varepsilon. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  5. 2009