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Mathematik-Online-Lexikon:

Irrationalität der Wurzel aus 2

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Zur Illustration der indirekten Beweismethode wird gezeigt, dass $ \sqrt{2}$ irrational ist, d.h. nicht als Bruch darstellbar ist.

Man nimmt an, dass die Behauptung $ B$ falsch ist. Es gelte also

$\displaystyle \lnot B:\ \sqrt{2} = \frac{p}{q}$   mit$\displaystyle \ p,q\in\mathbb{N},\quad \operatorname{ggT}(p,q)=1 \,. $

Dabei bezeichnet $ \operatorname{ggT}$ den größten gemeinsamen Teiler.

Aus der Annahme folgt durch Quadrieren und Multiplikation mit $ q^2$

$\displaystyle 2q^2 = p^2 \,, $

d.h. $ p^2$ und damit auch $ p$ ist eine gerade Zahl. Insbesondere existiert ein $ r\in\mathbb{N}$ mit $ p=2r$. Wegen

$\displaystyle q^2 = 2r^2 $

ist $ q$ ebenfalls gerade, und damit besitzen $ p$ und $ q$ den gemeinsamen Teiler $ 2$. Dies steht im Widerspruch zu dem Bestandteil der Annahme $ \lnot B$, dass $ \operatorname{ggT}(p,q)=1$, d.h.

$\displaystyle (\lnot B) \Longrightarrow B \,. $

Folglich muss die Behauptung $ B$ wahr sein.

(Autoren: Höllig/Knesch)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25. 11. 2008