Mathematik-Online-Lexikon: Umwandlung komplexer Zahlen in Polarform

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	Umwandlung komplexer Zahlen in Polarform

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Um $z = 1 + \sqrt{3}\mathrm{i}$ in Polarform umzuwandeln bildet man

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2,\quad \arctan(\sqrt{3}) = \pi/3\, .$

Da $\operatorname{Re} z\ge0$ , stimmt dieser Winkel mit arg $\,z$ überein, und man erhält

$\displaystyle z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\,\exp(\mathrm{i}\pi/3)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\left(\cos(\pi/3)+\mathrm{i}\sin(\pi/3)\right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,.$

Für $z = -1 + \mathrm{i}$ ist

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{2},\quad \arctan(-1) = -\pi/4\, .$

Da in diesem Fall Re $\,z<0$ ist, unterscheidet sich das Argument von

um $\pm\pi$ . Der Hauptwert ist

arg $\displaystyle \,z = -\pi/4+\pi = 3\pi/4$

und es folgt

$\displaystyle z = \sqrt{2}\exp(\mathrm{i}(3\pi/4))\, .$

Aus der Formel von Euler-Moivre erhält man

$\displaystyle 2\exp(\mathrm{i}\pi/6)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2(\cos(\pi/6) + \mathrm{i}\sin(\pi/6))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{3} + \mathrm{i}\, .$

(Autoren: Höllig/Kopf)

automatisch erstellt am 11. 6. 2007