Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge
Mathematik-Online-Lexikon:

Umwandlung komplexer Zahlen in Polarform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Um $ z = 1 + \sqrt{3}\mathrm{i}$ in Polarform umzuwandeln bildet man

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2,\quad \arctan(\sqrt{3}) = \pi/3\, . $

Da $ \operatorname{Re} z\ge0$, stimmt dieser Winkel mit arg$ \,z$ überein, und man erhält
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\,\exp(\mathrm{i}\pi/3)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left(\cos(\pi/3)+\mathrm{i}\sin(\pi/3)\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,.$  

Für $ z = -1 + \mathrm{i}$ ist

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{2},\quad \arctan(-1) = -\pi/4\, . $

Da in diesem Fall Re$ \,z<0$ ist, unterscheidet sich das Argument von $ z$ um $ \pm\pi$. Der Hauptwert ist

   arg$\displaystyle \,z = -\pi/4+\pi = 3\pi/4 $

und es folgt

$\displaystyle z = \sqrt{2}\exp(\mathrm{i}(3\pi/4))\, . $

Aus der Formel von Euler-Moivre erhält man

$\displaystyle 2\exp(\mathrm{i}\pi/6)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(\cos(\pi/6) + \mathrm{i}\sin(\pi/6))$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3} + \mathrm{i}\, .$  

(Autoren: Höllig/Kopf)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 11.  6. 2007