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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Division komplexer Zahlen

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Um

$\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3}\mathrm{i})+2 \exp (-\mathrm{i}\pi/6)}{\exp(\mathrm{i}\pi/2) (1-\mathrm{i})} $

zu berechnen, bildet man die Summe im Zähler mit der Standardform,

$\displaystyle (1+\sqrt{3}\mathrm{i})+ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i} \right) = (1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)\mathrm{i}\, , $

und das Produkt im Nenner mit der Polarform,

$\displaystyle \exp(\mathrm{i}\pi/2)\cdot \sqrt{2}\exp(-\mathrm{i}\pi/4) = \sqrt{2}\exp(\mathrm{i}\pi/4) = 1 + \mathrm{i}\, . $

Damit ist der Quotient

$\displaystyle \frac{((1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)\mathrm{i}) (1-\mathrm{i})}{(1+\m... ...thrm{i})} = \frac{2\sqrt{3} - 2\mathrm{i}}{2} = 2 \exp(-\mathrm{i}\pi/6)\, , $

und die Umwandlung in Standardform ergibt

$\displaystyle 2(\cos(\pi/6)-\mathrm{i}\sin(\pi/6)) = \sqrt{3}-\mathrm{i} \,. $

(Autoren: Höllig/Kopf)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 4. 10. 2007