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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Division komplexer Zahlen


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Um

$\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3}\mathrm{i})+2 \exp
(-\mathrm{i}\pi/6)}{\exp(\mathrm{i}\pi/2)
(1-\mathrm{i})}
$

zu berechnen, bildet man die Summe im Zähler mit der Standardform,

$\displaystyle (1+\sqrt{3}\mathrm{i})+
2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}
\right) =
(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)\mathrm{i}\,
,
$

und das Produkt im Nenner mit der Polarform,

$\displaystyle \exp(\mathrm{i}\pi/2)\cdot
\sqrt{2}\exp(-\mathrm{i}\pi/4) =
\sqrt{2}\exp(\mathrm{i}\pi/4) = 1 + \mathrm{i}\,
.
$

Damit ist der Quotient

$\displaystyle \frac{((1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)\mathrm{i})
(1-\mathrm{i})}{(1+\m...
...thrm{i})} =
\frac{2\sqrt{3} - 2\mathrm{i}}{2} =
2 \exp(-\mathrm{i}\pi/6)\,
,
$

und die Umwandlung in Standardform ergibt

$\displaystyle 2(\cos(\pi/6)-\mathrm{i}\sin(\pi/6)) =
\sqrt{3}-\mathrm{i}
\,.
$

(Autoren: Höllig/Kopf)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 4. 10. 2007