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Mathematik-Online-Lexikon:

Berechung einer Potenz mit rationalem Exponenten einer komplexen Zahl

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Um die Potenz

$\displaystyle z =(-1+\mathrm{i})^{2/3} $

zu berechnen, wandelt man in Polarform um und erhält

$\displaystyle \left(\sqrt{2} \exp\left(\frac{3 \pi \mathrm{i}}{4}\right)\right)... ...rt[3]{2} \exp\left(\frac{\mathrm{i}\pi}{2}\right) w_3^{2k}, \quad k=0,1,2\,, $

mit $ w_3 = \exp(2\pi\mathrm{i}/3)$. Die möglichen Werte sind also:

$\displaystyle z_0 =$ $\displaystyle \sqrt[3]{2}\; \mathrm{i} \,,$    
$\displaystyle z_1 =$ $\displaystyle \sqrt[3]{2} \; \mathrm{i} \exp\left( \frac{4 \pi \mathrm{i}}{3} \right) = \sqrt[3]{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2} \right)\,,$    
$\displaystyle z_2 =$ $\displaystyle \sqrt[3]{2}\; \mathrm{i} \exp\left( \frac{8 \pi \mathrm{i}}{3} \right) = \sqrt[3]{2}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\mathrm{i}}{2} \right)\,.$    

Dies kann durch eine Probe bestätigt werden. Beispielsweise ist

$\displaystyle z_1^3 = \left(\sqrt[3]{2} \;\mathrm{i} \exp\left( \frac{4 \pi \ma... ... 2\mathrm{i}^3 \underbrace{\exp(4\pi\mathrm{i})}_{=1} = -2 \,\mathrm{i} \,, $

was mit $ (-1+\mathrm{i})^2$ übereinstimmt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 15. 11. 2013