Mathematik-Online-Lexikon: Irrationale und imaginäre Exponenten

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	Irrationale und imaginäre Exponenten

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Für irrationale und imaginäre Exponenten erhält man im Allgemeinen unendlich viele Lösungen, wie die folgenden Beispiele zeigen:

unendlich viele Lösungen auf dem Einheitskreis:

$\displaystyle \mathrm{i}^{\pi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\pi}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \exp \left(\mathrm{i}[\pi^2/2+2\pi^2 k]\right),\qquad k \in \mathbb{Z}$
unendlich viele Lösungen auf einer Halbgeraden:

$\displaystyle \pi^{\mathrm{i}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp (\ln \pi + 2\pi k\mathrm{i})^{\mathrm{i}} = \exp (\mathrm{i} \ln \pi -2\pi k)$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \exp(-2\pi k) \exp(\mathrm{i}\ln \pi), \qquad k \in \mathbb{Z}$
unendlich viele Lösungen auf der positiven reellen Achse:

$\displaystyle \mathrm{i}^{\mathrm{i}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$

$\displaystyle =$ $\displaystyle \exp (-\pi/2-2\pi k), \qquad k \in \mathbb{Z}$

automatisch erstellt am 15. 11. 2013

$\displaystyle \mathrm{i}^{\pi}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\pi}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp \left(\mathrm{i}[\pi^2/2+2\pi^2 k]\right),\qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \pi^{\mathrm{i}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp (\ln \pi + 2\pi k\mathrm{i})^{\mathrm{i}} = \exp (\mathrm{i} \ln \pi -2\pi k)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp(-2\pi k) \exp(\mathrm{i}\ln \pi), \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \mathrm{i}^{\mathrm{i}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp ((\pi/2+2\pi k)\mathrm{i})^{\mathrm{i}}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \exp (-\pi/2-2\pi k), \qquad k \in \mathbb{Z}$