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Mathematik-Online-Lexikon:

Anwendung der Rechenregeln für Grenzwerte bei Folgen

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Mit Hilfe der bekannten Grenzwerte

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e, \quad \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1-\frac{1}{n} \right)^n=\frac{1}{e} $

folgt

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^2-1)^n}{n^{2n}}$ $\displaystyle = \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n} = \... ...{n\rightarrow\infty}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n \left(\frac{n-1}{n}\right)^n}$    
  $\displaystyle = \lim_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n} = e\cdot\frac{1}{e}=1.$    

Man berücksichtige, daß

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n\neq \left( \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right) \right)^n=1 \; , $

da die Anzahl der Faktoren des Produktes nicht konstant sind.
(Autoren: Höllig/Kreitz )

siehe auch:

  automatisch erstellt am 8.  4. 2008