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Mathematik-Online-Lexikon:

Lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und Parameter

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Als Beispiel wird das Gleichungssystem
$\displaystyle x - 2y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$  
$\displaystyle -2x +4y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t$  

mit einem Parameter $ t$ betrachtet.

Da

$\displaystyle \Delta = 1 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2) = 0 $

sind die den Gleichungen entsprechenden Geraden parallel:

$\displaystyle y = \frac{1}{2} x + b_k $

mit $ b_1 = \frac{1}{2}$ und $ b_2 = \frac{t}{4}$. Lösungen existieren nur dann, wenn die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten ist, also falls

$\displaystyle t = (-1) \cdot (-2) = 2\,. $

In diesem Fall sind die Gleichungen äquivalent, es muss also nur eine gelöst werden. Wählt man die erste Gleichung, so kann $ x$ beliebig gewählt werden und

$\displaystyle y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \,. $

Die Lösungsmenge ist also eine Gerade durch $ (0, \frac{1}{2})$ mit Steigung $ \frac{1}{2}$.
(Autoren: Höllig/Kreitz)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 18.  9. 2007